Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 3.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 4.2

Reordene $x^{\frac{1}{2}}$ e $2$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 4.3

Reordene $x^{\frac{1}{2}}$ e $- 1$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Fatore o negativo.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

Etapa 4.7

Some $1$ e $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.8.1

Cancele o fator comum.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.8.2

Reescreva a expressão.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

Etapa 4.9

Simplifique.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

Etapa 4.10

Reordene $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $- x$ .

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$