Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{\frac{x}{5}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \frac{x}{5}$ . Depois, $d u = \frac{1}{5} d x$ , então, $5 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = \frac{x}{5}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{5}$ .

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Etapa 5.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $5$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$