Cálculo Exemplos

$\int \frac{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d r$

Etapa 1

Deixe $u = r^{2} - x^{2}$ . Depois, $d u = 2 r d r$ , então, $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = r^{2} - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $r^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2} - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r^{2} - x^{2}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 r + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $r$ é $0$ .

$2 r + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 r$ e $0$ .

$2 r$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r^{2} - x^{2}$ .

${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$