Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 5 - 3 x^{3}$ . Depois, $d u = - 9 x^{2} d x$ , então, $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 5 - 3 x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Etapa 2.1.4

Subtraia $9 x^{2}$ de $0$ .

$- 9 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

Etapa 3.3

Mova $9$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $3$ e $18$ .

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Etapa 6.1.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$