Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - x^{2}$ . Depois, $d u = (1 - 2 x) d x$ , então, $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$- 2 x + 1$

Etapa 1.1.5

Reorganize os termos.

$1 - 2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Etapa 1.5.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $- 2$ e em $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.3.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 3.2.5

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Etapa 3.2.6

Multiplique $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Etapa 3.2.7

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 4