Cálculo Exemplos

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 y^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $8 y y'$ aos dois lados da equação.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.3

Fatore $2 y'$ de $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y'$ de $8 y y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.3.4

Fatore $2 y'$ de $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.3.5

Fatore $2 y'$ de $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.4.1.1

Reordene os termos.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 5.4.1.2.1

Fatore $4$ de $4 y$ .

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.2.2

Reescreva $4$ como $1$ mais $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.4.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ por $2 (3 y + 1) (y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ por $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $3 y + 1$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$