Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - 2 x - x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 1} 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $- 4$ e $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 + 3 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + 2 x}$

Etapa 1.3.11

Simplifique.

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Etapa 1.3.11.1

Some $0$ e $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{3 + 2 x}$

Etapa 1.3.11.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{2 x + 3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 4}{2 \cdot 1 + 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 4}{2 + 3}$

Etapa 4.2.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{- 4}{5}$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{4}{5}$

Forma decimal:

$- 0.8$