Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Depois, $d u_{1} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 5.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 6

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 8.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 9

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Etapa 10

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Depois, $d u_{2} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 11.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 12

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 13

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 14.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

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Etapa 16.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

Etapa 16.2.2

Multiplique $\cos (u_{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$