Cálculo Exemplos

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (1 - \sin (x))$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (1 - \sin (x))$ em termos de senos e cossenos.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.5

Combine $2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.6

Combine $\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

Etapa 5.7

Reescreva $\cot (1 - \sin (x))$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.8

Combine.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.9

Multiplique $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ por $\sin (1 - \sin (x))$ somando os expoentes.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ por $\sin (1 - \sin (x))$ .

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Etapa 5.9.1.1

Eleve $\sin (1 - \sin (x))$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

Etapa 5.9.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.10

Fatore $\sin (1 - \sin (x))$ de $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.11

Separe as frações.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.12

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ como um produto.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Etapa 5.13

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Etapa 5.14

Simplifique.

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Etapa 5.14.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Etapa 5.14.2

Converta de $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ em $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.15

Fatore $\sin (1 - \sin (x))$ de $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.16

Separe as frações.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.17

Converta de $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ em $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.18

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.19

Converta de $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ em $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.20

Divida $2$ por $1$ .

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Etapa 5.21

Multiplique $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ .

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Etapa 5.21.1

Eleve $\csc (1 - \sin (x))$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Etapa 5.21.2

Eleve $\csc (1 - \sin (x))$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Etapa 5.21.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Etapa 5.21.4

Some $1$ e $1$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$