Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o expoente $3$ de ${(x + h)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.8

Avalie o limite de $\sqrt{x^{3} + 2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em $\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $\sqrt{x^{3} + 2}$ de $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ como ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = {(x + h)}^{3} + 2$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + h)}^{3} + 2$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{3}$ e $g (h) = x + h$ .

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Etapa 1.3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.8

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.14

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.15

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.16

Some $3 {(x + h)}^{2}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.17

Combine $\frac{1}{2}$ e ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.18

Combine $3$ e $\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.19

Combine $\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e ${(x + h)}^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x + h)}^{2}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.20

Mova ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \sqrt{x^{3} + 2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \sqrt{x^{3} + 2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{3}{2} lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2}}{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2}}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Etapa 2.8

Mova o expoente $3$ de ${(x + h)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{3 {(x + 0)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Etapa 4.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Etapa 4.3

Some $x$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$

Etapa 4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2}}$

Etapa 4.5.2

Mova $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (\sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Etapa 4.5.3

Eleve $\sqrt{x^{3} + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Etapa 4.5.4

Eleve $\sqrt{x^{3} + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1})}$

Etapa 4.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}}$

Etapa 4.5.7

Reescreva ${\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}$ como $x^{3} + 2$ .

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Etapa 4.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3} + 2}$ como ${(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {({(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{1}}$

Etapa 4.5.7.5

Simplifique.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (x^{3} + 2)}$