Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Avalie $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ em $8$ e em $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Etapa 6.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $8$ e em $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.7

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

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Etapa 6.1.3.7.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.7.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.10

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.11

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.3.13.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.13.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6.1.3.14

Para escrever $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 6.1.3.15

Combine $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 6.1.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 6.1.3.17

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Etapa 6.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $8$ é $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Etapa 6.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Etapa 6.3.3

Divida $8$ por $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Forma decimal:

$9.17055845 \dots$

Etapa 8