Cálculo Exemplos

$\sqrt{x e^{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x e^{x}}$ como ${(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 7.3

Mova ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 10.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 10.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3

Combine os termos.

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Etapa 11.3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} e^{x} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.3

Combine $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 11.3.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.5.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.6

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} e^{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.7.1

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.9

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.10

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.3.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.10.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} e^{x}$

Etapa 11.3.11

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 11.3.12

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 11.3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.13.1

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 11.3.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 11.3.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.15

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$