Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Etapa 1.1.3.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 4 x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.8

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 2}$

Etapa 4.2.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{0 - 2}$

Etapa 4.2.6

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{1}{- 2}$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$