Cálculo Exemplos

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (\sin (π x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (\sin (π x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (\sin (π x))$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sin (π x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Etapa 4.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

Etapa 5.2

Reordene $2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ e $\sin (\sin (π x))$ .

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

Etapa 5.3

Mova os parênteses.

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

Etapa 5.4

Mova os parênteses.

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

Etapa 5.5

Reordene $\sin (\sin (π x)) (2 π)$ e $\cos (\sin (π x))$ .

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

Etapa 5.6

Adicione parênteses.

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

Etapa 5.7

Reordene $\cos (\sin (π x))$ e $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ .

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Etapa 5.8

Reordene $\sin (\sin (π x))$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Etapa 5.9

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

Etapa 5.10

Reordene os fatores em $\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ .

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$