Cálculo Exemplos

$y^{3} + 2 x = x^{2} - 2 + y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 2 x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 + y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + 2$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 0 + 2 y y'$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + 2 = 2 y y' + 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 2 - 2 y y' = 2 x$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 2 y y' = 2 x - 2$

Etapa 5.3

Fatore $y y'$ de $3 y^{2} y' - 2 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y y' (3 y) - 2 y y' = 2 x - 2$

Etapa 5.3.2

Fatore $y y'$ de $- 2 y y'$ .

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2 = 2 x - 2$

Etapa 5.3.3

Fatore $y y'$ de $y y' (3 y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ por $y (3 y - 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ por $y (3 y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $3 y - 2$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$