Cálculo Exemplos

${(1 + e^{x})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

Etapa 4.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

Etapa 4.3.2.3

Some $x$ e $x$ .

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$