Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ em $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Etapa 5

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (x)$ e $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Etapa 7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Etapa 8

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Etapa 10.2

Reordene $\tan^{2} (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Etapa 11

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 12

Simplifique multiplicando.

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Etapa 12.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Etapa 12.3

Reordene $\sec (x)$ e $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Etapa 13

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Etapa 14

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Etapa 16

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Etapa 17

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Etapa 18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Etapa 19

Some $2$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Etapa 20

Divida a integral única em várias integrais.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Etapa 21

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Etapa 22

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Etapa 23

Simplifique multiplicando.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Etapa 23.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Etapa 24

Ao resolver $\int \sec^{3} (x) d x$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Etapa 25

Multiplique $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Etapa 26

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Etapa 27

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$