Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.2.4.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 1.3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 1 - x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{- 1 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.11.6

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + 2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ .

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Etapa 3.13.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 3.13.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.13.6

Multiplique $e^{x + 2}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

Etapa 3.15

Some $e^{x + 2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $\frac{1}{e^{x + 2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Etapa 11

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.1.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

Etapa 15.1.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

Etapa 15.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 15.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 15.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$