Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.5.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.2.5.2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (4 - x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{4 - x}$ e $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{3}{4 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Etapa 3.17

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Etapa 6

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Etapa 7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 11

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Etapa 12.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.2.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 12.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 12.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- 3 \cdot 1$

Etapa 12.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$