Cálculo Exemplos

$y = \ln (x + y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $1 + y'$ por $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x + y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Etapa 5.2.2.1.2

Reordene $1$ e $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$y' x + y' y - y' = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' x + y' y - y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $y'$ de $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (x + y - 1) = 1$ por $x + y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (x + y - 1) = 1$ por $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + y - 1$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$