Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $e^{u}$ em $- 1$ e em $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Etapa 6.2

Simplifique.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Etapa 7.4

Multiplique $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Etapa 7.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Forma decimal:

$1.17520119 \dots$

Etapa 9