Cálculo Exemplos

$y x^{y - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x^{y - 1}$ .

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = y - 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $y - 1$ por $0$ .

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $0$ por $x^{y - 2}$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ .

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $1$ e $0$ .

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.7.2

Multiplique $x^{y - 1}$ por $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

Etapa 3.9

Multiplique $x^{y - 1}$ por $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ .

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$