Cálculo Exemplos

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 0.3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.3 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $80$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $80 t$ em relação a $t$ é $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $80$ por $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $425$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $425$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 0.9 t^{2} + 80$ e $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.9 t^{2} + 80$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 0.9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.9 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 0.9$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $80$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $80$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 1.8 t$ e $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 0.3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.3 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $80$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $80 t$ em relação a $t$ é $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $80$ por $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $425$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $425$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $- 0.9 t^{2} + 80$ e $0$ .

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $- 0.9 t^{2} + 80$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $80$ dos dois lados da equação.

$- 0.9 t^{2} = - 80$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 0.9 t^{2} = - 80$ por $- 0.9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 0.9 t^{2} = - 80$ por $- 0.9$ .

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $- 80$ por $- 0.9$ .

$t^{2} = 88.\overline{8}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 9

Multiplique $- 1.8$ por $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$- 16.97056274$

Etapa 10

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $\sqrt{88.\overline{8}}$ na expressão.

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ como $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $88.\overline{8}$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 0.3$ por $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $- 251.41574442$ e $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 425$

Etapa 11.2.2.2

Some $502.83148884$ e $425$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 927.83148884$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $927.83148884$ .

$y = 927.83148884$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

Etapa 13

Multiplique $- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $- 1.8$ .

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Etapa 13.2

Multiplique $1.8$ por $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$16.97056274$

Etapa 14

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $- \sqrt{88.\overline{8}}$ na expressão.

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ como $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $88.\overline{8}$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 0.3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.5.2

Multiplique $0.3$ por $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $80$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ de $251.41574442$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 425$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 502.83148884$ e $425$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 77.83148884$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 77.83148884$ .

$y = - 77.83148884$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ .

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 927.83148884)$ é um máximo local

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, - 77.83148884)$ é um mínimo local

Etapa 17