Cálculo Exemplos

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$