Cálculo Exemplos

$\int 2 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 2 x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{3}) - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{3}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{2 \ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$