Cálculo Exemplos

$2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 4.2

Some $2 x e^{x}$ e $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 4.2.1

Mova $e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Etapa 4.2.2

Some $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$4 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores em $4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$