Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{9}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{9}{4}$ para fora da integral.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x - 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ de $18$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.1.3

Cancele o fator comum de $9$ e $12$ .

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Etapa 5.1.3.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Etapa 5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{4}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ em $16$ e em $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{4}{3}$ e $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Etapa 7.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Etapa 7.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Etapa 7.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Etapa 7.2.10

Subtraia $4$ de $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Etapa 7.2.11

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.12

Multiplique $3$ por $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.13

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{84}{12}$

Etapa 7.2.14

Cancele o fator comum de $84$ e $12$ .

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Etapa 7.2.14.1

Fatore $12$ de $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Etapa 7.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.14.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Etapa 7.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Etapa 7.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{1}$

Etapa 7.2.14.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 8