Cálculo Exemplos

$y = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{\sin (5 x)}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$0 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Etapa 1.2.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$0 - \frac{1}{3} (5 \cdot \cos (5 x))$

Etapa 1.2.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$0 - 5 (\frac{1}{3}) \cos (5 x)$

Etapa 1.2.8

Combine $- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{- 5}{3} \cos (5 x)$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{- 5}{3}$ e $\cos (5 x)$ .

$0 + \frac{- 5 \cos (5 x)}{3}$

Etapa 1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Etapa 1.3

Subtraia $\frac{5 \cos (5 x)}{3}$ de $0$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- \frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (5 x)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\sin (5 x)$ e $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (5 x) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.3.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sin (5 x)$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (5 x)}{3} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Combine $5$ e $\frac{5 \sin (5 x)}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (5 \sin (5 x))}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{25 \sin (5 x)}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$5 \cos (5 x) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $5 \cos (5 x) = 0$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $5 \cos (5 x) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\cos (5 x)$ por $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$\cos (5 x) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$5 x = \arccos (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$5 x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $5 x = \frac{π}{2}$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $5 x = \frac{π}{2}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.4.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{π}{10}$

Etapa 5.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$5 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.6.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.6.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $5 x = \frac{3 π}{2}$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $5 x = \frac{3 π}{2}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Etapa 5.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 5.6.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.6.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Etapa 5.7

A solução para a equação $5 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{10}, \frac{3 π}{10}$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{10}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 (2)})}{3}$

Etapa 7.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2})}{3}$

Etapa 7.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Etapa 7.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{25 \cdot 1}{3}$

Etapa 7.2

Multiplique $25$ por $1$ .

$\frac{25}{3}$

Etapa 8

$x = \frac{π}{10}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{10}$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{10}$ na expressão.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 (2)}))}{3}$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Etapa 9.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3}$

Etapa 9.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{6 - 1}{3}$

Etapa 9.2.5.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{5}{3}$

Etapa 9.2.6

A resposta final é $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{5}{3}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{10}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)})}{3}$

Etapa 11.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2})}{3}$

Etapa 11.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Etapa 11.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{25 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Etapa 11.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{25 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Etapa 11.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{25 \cdot - 1}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\frac{- 25}{3}$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{25}{3}$

Etapa 12

$x = \frac{3 π}{10}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{10}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{10}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1.1

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}))}{3}$

Etapa 13.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Etapa 13.2.1.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Etapa 13.2.1.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Etapa 13.2.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1}{3}$

Etapa 13.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Etapa 13.2.1.3

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 13.2.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Etapa 13.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 13.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 13.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3}$

Etapa 13.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{6 + 1}{3}$

Etapa 13.2.5.2

Some $6$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{7}{3}$

Etapa 13.2.6

A resposta final é $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(\frac{π}{10}, \frac{5}{3})$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{10}, \frac{7}{3})$ é um máximo local

Etapa 15