Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (4 - x) (x - 5)}{13 (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{4}{13}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} (4 - x) (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 (x - 5) - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x^{1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} + 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.8.2.2

Mova $- 20$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - x^{2} + 5 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.8.2.3

Mova $4 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $5 x$ e $4 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 9 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.2.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x (x + 8) - 1 (x + 8)}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 (x + 8)}$

Etapa 2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.4

Reordene $x$ e $8$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 8 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.3.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.8.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 8}$

Etapa 2.1.3.8.3

Subtraia $1 x$ de $8 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 7 x - 8}$

Etapa 2.1.3.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.3.10

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 - x$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $4 - x$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.14

Mova $- 1$ para a esquerda de $x - 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - 1 \cdot (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.15

Reescreva $- 1 (x - 5)$ como $- (x - 5)$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.16

Simplifique.

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Etapa 2.3.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x - - 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.16.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.16.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.16.2.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - 2 x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.16.2.3

Some $4$ e $5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Etapa 2.3.17

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 8$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 8] + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.18

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.20

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + 0) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.21

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \cdot 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.22

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.23

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.24

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.25

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.26

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \cdot 1}$

Etapa 2.3.27

Multiplique $x + 8$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + x + 8}$

Etapa 2.3.28

Some $x$ e $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x - 1 + 8}$

Etapa 2.3.29

Some $- 1$ e $8$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x + 7}$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.1.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - 2 + \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 4.6

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Etapa 6.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 \cdot 0}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 0}{2 + 7 \cdot 0}$

Etapa 8.1.2

Some $- 2$ e $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 7 \cdot 0}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 0}$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Etapa 8.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{13} \cdot - 2$

Etapa 8.4

Combine $\frac{2}{13}$ e $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{13}$

Etapa 8.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4}{13}$

Etapa 8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{13}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{4}{13}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{307692}$