Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (4 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.3.1.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (2 x - 3)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{2 x - 3}$ e $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.9

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{4}{2 x - 3}$ e $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Etapa 3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x - 4} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}]$ .

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Etapa 3.14.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x - 4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x - 4$ .

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Etapa 3.14.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (2 e^{2 x - 4}) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.14.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.15

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + 0}$

Etapa 3.16

Some $4 e^{2 x - 4}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{8}{2 x - 3} \cdot \frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{8}{2 x - 3}$ por $\frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{(2 x - 3) (e^{2 x - 4})}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 2} \frac{1}{(2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Etapa 11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Etapa 12

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Etapa 13

Mova o limite para o expoente.

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4}}$

Etapa 14

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}}$

Etapa 15

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}}$

Etapa 16

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Etapa 17

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 17.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Etapa 17.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18

Simplifique a resposta.

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Etapa 18.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 18.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{(4 - 1 \cdot 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 \frac{1}{(4 - 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18.1.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$2 \frac{1}{1 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18.1.4

Multiplique $e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 1 \cdot 4}}$

Etapa 18.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 4}}$

Etapa 18.1.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$2 \frac{1}{e^{0}}$

Etapa 18.1.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 18.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 18.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 18.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$