Cálculo Exemplos

$\int 6 \sqrt{4 x - 5} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \sqrt{4 x - 5} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 x - 5$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 x - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $6$ .

$\frac{6}{4} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.5

Multiplique $u^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 5$ .

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}} + C$