Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

Etapa 1

Divida $2 x^{2} + x + 4$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x - 3$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Etapa 7

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Etapa 8.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Etapa 8.5

Subtraia $1$ de $5$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 10.2

Avalie $3 x$ em $5$ e em $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 10.3

Avalie $\ln (| u |)$ em $4$ e em $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.4

Subtraia $9$ de $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.5

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 10.4.5.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.5.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.7

Multiplique $3$ por $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.8

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.9

Subtraia $9$ de $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10.4.10

Some $16$ e $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Etapa 12.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

Etapa 12.3

Divida $4$ por $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$22 + 7 \ln (2)$

Forma decimal:

$26.85203026 \dots$

Etapa 14