Cálculo Exemplos

f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Etapa 1

É possível determinar a função

F (x)

$F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada

f (x)

$f (x)$ .

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 4

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Depois,

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , então,

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como

2

$2$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

2 x

$2 x$ em relação a

x

$x$ é

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por

\frac{u}{2}

$\frac{u}{2}$ .

\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.2

Combine

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ e

\frac{2}{u}

$\frac{2}{u}$ .

\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.3

Mova

2

$2$ para a esquerda de

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ .

\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.4

Multiplique

\frac{2 \sqrt{u}}{u}

$\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.5

Mova

2

$2$ para a esquerda de

u

$u$ .

\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.2

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{u}$ como

$u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova

$u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2

Multiplique

$u$ por

$u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique

$u$ por

$u^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Eleve

$u$ à potência de

$1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.2

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia

$1$ de

$2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova

$u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à

$- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2.2

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a

$u$ é

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 7

Como

$3$ é constante com relação a

$x$ , mova

$3$ para fora da integral.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova

$x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à

$- 1$ potência.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em

${(x^{5})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique

$5$ por

$- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x^{- 5}$ com relação a

$x$ é

$- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Combine

$x^{- 4}$ e

$\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Etapa 10.1.2

Mova

$x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$