Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{u}{2}$ .

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.4

Multiplique $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.4.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 5.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Etapa 10.1.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$