Cálculo Exemplos

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ e $x$ .

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ para fora da integral.

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Etapa 4.1.2

Combine $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ e $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Etapa 4.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $θ_{2}$ e em $θ_{1}$ .

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Etapa 4.2.2.2

Combine.

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.6

Combine $- 2$ e $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.2.2.7.1

Fatore $2$ de $- 2 {θ_{1}}^{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 4.2.2.7.2.4

Divida $- {θ_{1}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = θ_{2}$ e $b = θ_{1}$ .

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $θ_{2} - θ_{1}$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$