Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2 y^{2}}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.10

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.11

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.12

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.13

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.13.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.13.2.1

Fatore $2$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{16}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{4}}{16}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

Etapa 3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{4}{16}$ e $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $4$ de $4 y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$