Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{x (x + 1)}$ como ${(x (x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x (x + 1)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x (x + 1)$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

Etapa 4.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

Etapa 4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $x (x + 1)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

Etapa 5.3

Reordene os fatores de $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

Multiplique $- 2 x - 1$ por $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.10

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.11

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$