Cálculo Exemplos

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $\sqrt{7}$ , que é constante à medida que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $v$ substituindo $- 3$ por $v$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Some $4$ e $3$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Subtraia $\sqrt{7}$ de $\sqrt{7}$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + lim_{v \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $v$ substituindo $- 3$ por $v$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3} = lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - v}$ como ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [{(4 - v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ e $g (v) = 4 - v$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - v$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $4$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $4$ em relação a $v$ é $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- v$ em relação a $v$ é $- \frac{d}{d v} [v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d v} [v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.15

Combine $\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1 \cdot {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.17

Reescreva $- 1 {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.18

Mova ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \sqrt{7}$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- \sqrt{7}$ em relação a $v$ é $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.5

Some $- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v + 3$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d v} [3]}$

Etapa 1.3.8

Como $3$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $3$ em relação a $v$ é $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 - v}$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $v$ .

$- lim_{v \to - 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $v$ .

$- \frac{1}{2} lim_{v \to - 3} \frac{1}{\sqrt{4 - v}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{v \to - 3} 1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $v$ se aproxima de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Etapa 2.8

Simplifique os termos.

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Etapa 2.8.1

Avalie o limite de $v$ substituindo $- 3$ por $v$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.8.2.1

Some $4$ e $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Etapa 2.8.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.8.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 2.8.2.3.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 2.8.2.3.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 2.8.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.8.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 2.8.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 2.8.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.8.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.8.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.8.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.8.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.8.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 2.8.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.8.2.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Etapa 2.8.2.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{7}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

Etapa 2.8.2.4.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Forma decimal:

$- 0.18898223 \dots$