Cálculo Exemplos

$y = - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

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Etapa 1.2.7.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{3}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.3

Combine $5$ e $\frac{3}{10}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.5

Combine $\frac{15}{10}$ e $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.6

Cancele o fator comum de $15$ e $10$ .

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Etapa 1.4.6.1

Fatore $5$ de $15 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.6.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Some $- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{12}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$6 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 4 x + 6$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{3} - 4 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$18 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 x^{2} - 4 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $18 x^{2} - 4$ e $0$ .

$f''' (x) = 18 x^{2} - 4$