Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 (x^{3} + 3)}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{x^{3} + 3}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{4} + 12 x$ . Depois, $d u = (4 x^{3} + 12) d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + 3) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{4} + 12 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{4} + 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 12 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$4 x^{3} + 12$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Etapa 3.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.3

Multiplique $\int \frac{1}{u^{3}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Etapa 7.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 12 x$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} + 12 x)}^{2}} + C$