Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

Etapa 2.6

Combine frações.

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Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

Etapa 2.6.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

Etapa 2.6.3

Combine $\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$