Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Etapa 1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 1.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ movendo $\cot (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Etapa 3

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Etapa 4

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Etapa 5

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Etapa 6

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0$ .

$0$

Etapa 7

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Etapa 8

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Etapa 9

$e^{0}$

Etapa 10

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$