Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + x$ . Depois, $d u = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Etapa 2

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $e^{u}$ em $2$ e em $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{2} - 1$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{2} - 1$

Forma decimal:

$6.38905609 \dots$

Etapa 5