Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{2}{x - 8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{x}{3 x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 8) (3 x - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{2}{x - 8}$ por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{x}{3 x - 4}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 8) (3 x - 4)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(3 x - 4) (x - 8)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.5

Para escrever $\frac{x}{2 x - 16}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Etapa 1.6

Para escrever $\frac{1}{3 x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

Etapa 1.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 16) (3 x - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.7.1

Multiplique $\frac{x}{2 x - 16}$ por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\frac{1}{3 x - 4}$ por $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(3 x - 4) (2 x - 16)}}$

Etapa 1.7.3

Reordene os fatores de $(3 x - 4) (2 x - 16)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

Etapa 1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4) + 2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)} \cdot \frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}$ por $\frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $3 x - 4$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} (2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + x (x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(2 lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.9

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.12

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.13

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.13.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.13.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.14.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.14.1.1.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{(2 (- 6 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{(2 (- 6 - 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.2

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$\frac{(2 \cdot - 10 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.5

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot - 10) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 10$ .

$\frac{(- 20 + 20) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.2

Some $- 20$ e $20$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.14.3.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{0 \cdot (- 4 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.3.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{0 \cdot (- 4 - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.4

Subtraia $16$ de $- 4$ .

$\frac{0 \cdot - 20}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.2.14.5

Multiplique $0$ por $- 20$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x - 8 \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Etapa 3.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Etapa 3.1.3.10

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.11

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.11.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.11.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{(- 2 - 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.2

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.12.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.12.3.1.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3.2

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot - 10 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 10$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 1 \cdot 16)}$

Etapa 3.1.3.12.3.5

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 16)}$

Etapa 3.1.3.12.4

Subtraia $4$ de $20$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (16 - 16)}$

Etapa 3.1.3.12.5

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.12.6

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.12.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.13

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x) + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x \cdot x + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.2.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} - 8 x) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $8 x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 2 x - 8 + x^{2}$ e $g (x) = 2 x - 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 16] + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + 0) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \cdot 2 + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $- 2 x - 8 + x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x - 8 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.13

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.15

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.16

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.17

Some $- 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19

Simplifique.

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Etapa 3.3.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5

Combine os termos.

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Etapa 3.3.19.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.4

Multiplique $- 16$ por $- 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x \cdot x - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x^{1}) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{1 + 1} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.9

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.10

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 32 x}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.11

Subtraia $32 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 36 x + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.12

Subtraia $36 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x - 16 + 2 x^{2} + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.13

Some $- 16$ e $32$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 2 x^{2} + 16 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.5.14

Some $2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 6 x^{2} + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.19.6

Reordene os termos.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.20

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x) + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.20.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.20.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.20.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.20.4.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 (x \cdot x) - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.20.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 x + 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.21

Some $- 4 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 2 x - 16)]}$

Etapa 3.3.22

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 8$ e $g (x) = 3 x^{2} - 2 x - 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 16] + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.23

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.24

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.25

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.26

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.27

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.28

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.29

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.30

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.31

Some $6 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 3.3.32

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Etapa 3.3.33

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Etapa 3.3.34

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + 0)}$

Etapa 3.3.35

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \cdot 1}$

Etapa 3.3.36

Multiplique $3 x^{2} - 2 x - 16$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37

Simplifique.

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Etapa 3.3.37.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4

Combine os termos.

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Etapa 3.3.37.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x^{1}) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{1 + 1} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.5

Multiplique $6$ por $- 8$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 \cdot x - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.7

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.8

Subtraia $2 x$ de $- 48 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 50 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.9

Some $6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 50 x + 16 - 2 x - 16}$

Etapa 3.3.37.4.10

Subtraia $2 x$ de $- 50 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 16 - 16}$

Etapa 3.3.37.4.11

Subtraia $16$ de $16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 0}$

Etapa 3.3.37.4.12

Some $9 x^{2} - 52 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - 40 x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.5

Mova o termo $40$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Etapa 4.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Etapa 4.8

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Etapa 4.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Etapa 4.10

Mova o termo $52$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{6 \cdot 4 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{24 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 40$ por $- 2$ .

$\frac{24 + 80 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.1.4

Some $24$ e $80$ .

$\frac{104 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.1.5

Some $104$ e $16$ .

$\frac{120}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{120}{9 \cdot 4 - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{120}{36 - 52 \cdot - 2}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 52$ por $- 2$ .

$\frac{120}{36 + 104}$

Etapa 6.2.4

Some $36$ e $104$ .

$\frac{120}{140}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $120$ e $140$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $20$ de $120$ .

$\frac{20 (6)}{140}$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $20$ de $140$ .

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{7}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{6}{7}$

Forma decimal:

$0.\overline{857142}$