Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 10

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \csc^{2} (x) d x)$

Etapa 11.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 12

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 (- \cot (x) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} - 5 (- \cot (x)) + C$

Etapa 13.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$