Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} x^{3} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{4}}{4}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 6.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 6.4

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 6.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Etapa 6.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Para escrever $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.2

Combine $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (e) e^{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - 4 (\frac{1}{4}) (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.5

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 4}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 6.8.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.8.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 6.8.6.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

Forma decimal:

$10.29965313 \dots$