Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 6

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1.1

Avalie $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $4$ e em $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Etapa 11.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $4$ e em $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3

Simplifique.

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Etapa 11.1.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.9

Subtraia $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.10

Combine $3$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.11

Multiplique $3$ por $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.12

Cancele o fator comum de $42$ e $3$ .

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Etapa 11.1.3.12.1

Fatore $3$ de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3.12.2.4

Divida $14$ por $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Etapa 11.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Etapa 11.3.3

Divida $4$ por $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Etapa 12.2

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$14 - 4 \ln (2)$

Forma decimal:

$11.22741127 \dots$

Etapa 14