Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.2.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.7.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.7.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.7.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sin (2 x) - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \cdot 1}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3}$

Etapa 3.8

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Etapa 6

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Etapa 9

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Etapa 10

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 14.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (0)}$

Etapa 14.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cdot 1}$

Etapa 14.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8}$

Etapa 14.2.4

Some $- 3$ e $8$ .

$\frac{1}{5}$