Cálculo Exemplos

$\int {(1 - x - y)}^{2} d y$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x - y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - x - y]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.1.2.3

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - 1$

Etapa 1.1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - u^{2} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 4

Reescreva $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x - y$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x - y)}^{3} + C$