Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} - 4}{5 x - 3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{5 x - 3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 4$ e $g (x) = 5 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + 0)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.10.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \cdot 5}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.10.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (5 x) + 2 \cdot - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Subtraia $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$