Cálculo Exemplos

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

Etapa 1.2

Resolva $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ por $\tan (5 x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida cada termo em $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ por $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Etapa 1.2.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Etapa 1.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1

Separe as frações.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Etapa 1.2.1.3.2

Reescreva $\tan (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Etapa 1.2.1.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Etapa 1.2.1.3.4

Escreva $\sin (5 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Etapa 1.2.1.3.5

Cancele o fator comum de $\sin (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Etapa 1.2.1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

Etapa 1.2.1.3.6

Divida $2$ por $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a equação como $2 \cos (5 x) = 1$ .

$2 \cos (5 x) = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 \cos (5 x) = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 \cos (5 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\cos (5 x)$ por $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.6

Divida cada termo em $5 x = \frac{π}{3}$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Divida cada termo em $5 x = \frac{π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.2.6.3.2

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Etapa 1.2.6.3.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Etapa 1.2.7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.8.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 1.2.8.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 1.2.8.1.5

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 1.2.8.2

Divida cada termo em $5 x = \frac{5 π}{3}$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Divida cada termo em $5 x = \frac{5 π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Etapa 1.2.8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.2.8.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.3.2.1

Fatore $5$ de $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.2.8.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 1.2.8.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.9

Encontre o período de $\cos (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.9.2

Substitua $b$ por $5$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Etapa 1.2.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Etapa 1.2.10

O período da função $\cos (5 x)$ é $\frac{2 π}{5}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{5}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Etapa 1.3.2

Substitua $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ por $x$ em $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.3.2.2.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.3.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

Etapa 1.4.2

Simplifique $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.4.2.2

Combine $5$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Etapa 1.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.5

Liste todas as soluções.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \frac{π}{15}$ e $\frac{π}{15}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva $\tan (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

Etapa 3.3

Converta de $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ em $\tan (5 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.6

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.6.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 3.6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Etapa 3.6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{15}$ para o numerador.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Etapa 3.6.3.1.2

Fatore $5$ de $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Etapa 3.6.3.1.3

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.6.3.1.4

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Etapa 3.6.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Etapa 3.6.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.5.1

Fatore $5$ de $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Etapa 3.6.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.6.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.7

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.8

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{5}$ e $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.10

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Etapa 3.11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Etapa 3.12

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Depois, $d u_{2} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.12.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 3.12.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 3.12.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Etapa 3.12.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{15}$ para o numerador.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Etapa 3.12.3.1.2

Fatore $5$ de $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Etapa 3.12.3.1.3

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.12.3.1.4

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Etapa 3.12.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Etapa 3.12.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Etapa 3.12.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.5.1

Fatore $5$ de $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Etapa 3.12.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.12.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 3.12.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 3.12.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 3.13

Combine $\tan (u_{2})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

Etapa 3.14

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 3.15

A integral de $\tan (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 3.16

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Avalie $- \cos (u_{1})$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 3.16.2

Avalie $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Etapa 3.16.3

Remova os parênteses.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Etapa 3.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Etapa 3.17.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Etapa 3.17.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Etapa 3.17.4

Combine $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.5

Para escrever $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.6

Combine $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.8

Combine $5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.10

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

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Etapa 3.17.10.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.10.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.17.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18

Simplifique.

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Etapa 3.18.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.18.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.18.6.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.6.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

Etapa 3.18.6.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

Etapa 3.18.6.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

Etapa 3.18.7

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

Etapa 3.18.8

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

Etapa 3.18.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

Etapa 3.18.10

Reduza a expressão $\frac{0 + 0}{5}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.18.10.1

Fatore $5$ de $0$ .

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

Etapa 3.18.10.2

Fatore $5$ de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

Etapa 3.18.10.3

Fatore $5$ de $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

Etapa 3.18.10.4

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

Etapa 3.18.10.5

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

Etapa 3.18.10.6

Reescreva a expressão.

$\frac{0 + 0}{1}$

Etapa 3.18.11

Divida $0 + 0$ por $1$ .

$0 + 0$

Etapa 3.18.12

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4